جستجو و یافتن معادل فارسی لغات عربی رایج در زبان پارسی
فاصِله یک کمیت عددی برای تعیین مقدار دوری یا نزدیکی دو چیز است.
«فاصله» در زمینههای مختلفی تعریف میشود. به عنوان مثال، فاصلهٔ دو جسم از هم یا فاصلهٔ دو روز از سال.
در هندسه
در هندسهٔ اقلیدسی، انواع مختلفی از فاصله تعریف میشود؛ امّا به طور کلّی منظور از «فاصله» همان فاصلهٔ اقلیدسی است.
فاصلهٔ اقلیدسی
به طول کوتاهترین خط بین دو نقطهی
A
{displaystyle A}
و
B
{displaystyle B}
فاصلهٔ اقلیدسی (با نماد
A
B
¯
{displaystyle {overline {AB}}}
) گفته میشود.
در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطهی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
و
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
را میتوان به کمک قضیهٔ فیثاغورث پیدا کرد که به فرمول زیر میرسد:
A
B
¯
=
Δ
x
2
+
Δ
y
2
=
(
A
x
−
B
x
)
2
+
(
A
y
−
B
y
)
2
{displaystyle {overline {AB}}={sqrt {Delta x^{2}+Delta y^{2}}}={sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}}
این فرمول را میتوان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر
A
=
(
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
)
{displaystyle A=(A_{1},A_{2},dots ,A_{n})}
و
B
=
(
B
1
,
B
2
,
…
,
B
n
)
{displaystyle B=(B_{1},B_{2},dots ,B_{n})}
:
A
B
¯
=
∑
i
=
1
n
(
Δ
A
i
)
2
=
(
A
1
−
B
1
)
2
+
(
A
2
−
B
2
)
2
+
⋯
+
(
A
n
−
B
n
)
2
{displaystyle {overline {AB}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(Delta A_{i})^{2}}}}={sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+(A_{2}-B_{2})^{2}+dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}}
فاصله میان نقطه و خط
فاصله میان نقطه (
P
=
(
x
p
,
y
p
{displaystyle P=(x_{p},y_{p}}
و خط
l
{displaystyle l}
، از طریق نقاط
(
x
0
,
y
0
)
{displaystyle (x_{0},y_{0})}
و
(
x
1
,
y
1
)
{displaystyle (x_{1},y_{1})}
برابر است با:
d
(
P
,
l
)
=
(
x
p
−
x
0
−
λ
q
(
x
1
−
x
0
)
)
2
+
(
y
p
−
y
0
−
λ
q
(
y
1
−
y
0
)
)
2
{displaystyle d(P,l)={sqrt {(x_{p}-x_{0}-lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}}
که در آن:
λ
q
=
(
x
1
−
x
0
)
(
x
p
−
x
0
)
+
(
y
1
−
y
0
)
(
y
p
−
y
0
)
(
x
1
−
x
0
)
2
+
(
y
1
−
y
0
)
2
{displaystyle lambda _{q}={frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}
اگر مقدار
λ
q
{displaystyle lambda _{q}}
میان ۰ و ۱ باشد نقطهٔ تقاطع
l
{displaystyle l}
و خط گذرنده از
P
{displaystyle P}
و عمود بر
l
{displaystyle l}
بین نقاط
(
x
0
,
y
0
)
{displaystyle (x_{0},y_{0})}
و
(
x
1
,
y
1
)
{displaystyle (x_{1},y_{1})}
جای میگیرد.
فاصلهٔ منهتنی
نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّههای آنجا بلوکبندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.
فاصلهٔ منهتنی دو نقطهی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
و
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
(با نماد
d
1
{displaystyle d_{1}}
) با فرمول زیر تعریف میشود:
d
1
(
A
,
B
)
=
|
Δ
x
|
+
|
Δ
y
|
{displaystyle mathrm {d_{1}} (A,B)=leftvert Delta x
ightvert +leftvert Delta y
ightvert }
این فرمول را نیز میتوان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.
فاصلهٔ شطرنجی (فاصلهٔ چبیشف)
این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبتهای مورد نیاز شاه برای رسیدن به مقصدش میباشد.
فاصلهٔ شطرنجی دو نقطهی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
و
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
(با نماد
d
1
{displaystyle d_{1}}
) با فرمول زیر تعریف میشود:
d
∞
(
A
,
B
)
=
max
{
Δ
x
,
Δ
y
}
{displaystyle mathrm {d_{infty }} (A,B)=max{Delta x,Delta y}}
این فرمول را نیز میتوان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.
تعمیم و فاصلهٔ مینکوفسکی
در فضای
R
n
{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
فاصلهٔ مینکوفسکی از مرتبهٔ
p
{displaystyle p}
(یا p-نُرم با نماد
d
p
{displaystyle mathrm {d} _{p}}
) بین دو نقطهی
A
=
(
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
)
{displaystyle A=(A_{1},A_{2},dots ,A_{n})}
و
B
=
(
B
1
,
B
2
,
…
,
B
n
)
{displaystyle B=(B_{1},B_{2},dots ,B_{n})}
به صورت زیر تعریف میشود:
(
∑
i
=
1
n
|
A
i
−
B
i
|
p
)
1
/
p
{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}left|A_{i}-B_{i}
ight|^{p}
ight)^{1/p}}
فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (
d
2
{displaystyle mathrm {d} _{2}}
) هستند.
در گراف
در نظریّهٔ گرافها، فاصلهٔ دو رأس (با نماد
d
{displaystyle d}
) برابر طول کوتاهترین مسیر بین دو آن دو تعریف میشود.
منابع